Tutorial Minggu 15 – Matematika Bisnis


  1. Diberikan 3\frac{dy}{dx}+5y^2=\sin{x}, y(0.3)=5 dan menggunakan h=0.3, tentukan nilai hampiran dari y(0.9) menggunakan metode Runge-Kutta orde-4.

    Jawab

    Langkah pertama, kita ubah persamaan 3\frac{dy}{dx}+5y^2=\sin{x} menjadi \frac{dy}{dx}=\frac{1}{3}\left(\sin{x}-5y^2\right). Sehingga diperoleh, f(x,y)=\frac{1}{3}\left(\sin{x}-5y^2\right).

    Untuk pengingat, rumus Runge-Kutta orde-4 sebagai berikut:
    y_{i+1}=y_i+\frac{h}{6}\left(k_1+2k_2+2k_3+k_4\right)
    dengan
    k_1=f(x_i,y_i),
    k_2=f(x_i+\frac{1}{2}h,y_i+\frac{1}{2}k_1h),
    k_3=f(x_i+\frac{1}{2}h,y_i+\frac{1}{2}k_2h) dan
    k_4=f(x_i+h,y_i+k_3h).

    Karena h=0.3, kita akan menghitung hingga y_2 dengan rincian sebagai berikut:

    Perhitungan Nilai Akhir

    Perhitungan Nilai Akhir

    sehingga diperoleh y(0.9)=-1261.52357656997.

  2. Diberikan persamaan 3x^2-e^x=0. Peroleh hampiran akar persamaan ini
    1. dengan menggunakan metode bagi selang (bisection method): pertama pilih selang awal [a,b] yang tepat, kemudian lakukan iterasi hingga 3 kali.

      Jawab

      Dari soal, kita peroleh f(x)=3x^2-e^x. Karena nilai e\approx 2.718<3, maka dapat dipilih selang [0,2] sebagai selang awal.

      Untuk pengingat, langkah bagi selang sebagai berikut:

      1. Pilih [x_l,x_u] sebagai selang awal. Dalam soal ini, maka x_l=0 dan x_u=2.
      2. Hitung x_r=\frac{x_l+x_u}{2}.
      3. Jika f(x_l)f(x_r)0, maka x_l=x_r untuk iterasi selanjutnya. Kembali ke langkah 2.

      Dalam 3 iterasi, akan diperoleh perhitungan sebagai berikut:

      Perhitungan Nilai Akhir

      Perhitungan Nilai Akhir

      Sehingga diperoleh x_r=0.875.

    2. dengan menggunakan titik tetap (fixed point method).

      Jawab

      Kita ubah persamaan 3x^2-e^x=0 menjadi x=\sqrt{\frac{e^x}{3}}. Sehingga diperoleh g(x)=\sqrt{\frac{e^x}{3}}. Kita pilih titik awal x_0=1 dengan alasan yang sama seperti pada bagian b. Rumus yang digunakan pada metode ini yaitu x_{i+1}=g(x_i) sehingga diperoleh perhitungan sebagai berikut:

      Perhitungan Nilai Akhir

      Perhitungan Nilai Akhir


      Kita peroleh x_3=0.91881.
  3. Dapatkan kita menggunakan metode bagi selang untuk menentukan akar-akar dari persamaan f(x)=\cos{x}-1?

    Jawab

    Untuk menentukan akar dari persamaan f(x)=\cos{x}-1 menggunakan metode bagi selang, kita harus memilih selang awal yang sangat spesifik yaitu [-a,a]. Jika tidak, nilai \varepsilon_a akan terus membesar.

  4. Ketika menggunakan metode Newton dengan titik awal x_0=4 dan f(x_0)=1 diperoleh x_1=3. Tentukan f'(x_0)?

    Jawab

    Sebagai pengingat, formula untuk Newton-Raphson yaitu x_{i+1}=x_i-\frac{f(x_i)}{f'(x_i)}. Dengan mengaplikasikan formula tersebut pada soal, diperoleh f'(x_0)=\frac{1}{3}.

  5. Telah dibahas di kelas tutorial.
  6. Telah dibahas di kelas tutorial.
  7. Berikut adalah sketsa danau yang panjangnya sekitar 700 m. Tentukan hampiran luas danau (dalam m^2 menggunakan trapesium.
    Jawab

    Misalkan L adalah luas danau, maka L dapat dihitung dengan rumus:
    L=\frac{100}{2}(0+2\times 450+2 \times 500 +2 \times 450+2 \times 420+2\times 560+2 \times 550+0).

    Kita peroleh luas danau tersebut 298,000 m^2.

  8. Telah dibahas di kelas tutorial.
  9. Telah dibahas di kelas tutorial.
  10. Berikut adalah tabel yang menyatakan persentase pemilih yang telah menggunakan haknya setelah jam tertentu:
    Waktu: 8;9;10;11;12.
    Persentase: 12;19;24;30;37.

    1. Plot data tersebut.
      Jawab

      Misalkan x adalah variabel waktu dan y adalah variabel persentase pemilih yang telah menggunakan haknya setelah pukul x. Kita peroleh grafik sebagai berikut:

      20140503-161823.jpg

    2. Tentukan persamaan regresi y=mx+b dengan metode least-square.
      Jawab

      Formula untuk m dan b yaitu:
      m= \frac{n\Sigma xy-\Sigma x\Sigma y}{n\Sigma x^2-(\Sigma x)^2}
      b=\frac{\Sigma x^2\Sigma y-\Sigma x\Sigma xy}{n\Sigma x^2-(\Sigma x)^2}

      Dengan data pada soal, akan diperoleh nilai m=6.1 dan b=-36.6.

    3. Beri prediksi persentase pemilih yang datang memilih antara pukul 11:00 dan 13:00.
      Jawab

      Dari bagian b, diperoleh formula y=6.1x-36.6. Sehingga untuk x=13 diperoleh y=42.7. Jadi, prediksi persentase pemilih yang datang memilih antara pukul 11:00 dan 13:00 yaitu 42.7-30=12.7 persen.

  11. Kerjakan sendiri ya..😀
  12. Telah dibahas di kelas tutorial.

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s