Laporan Kerja Minggu 4


Persamaan Beda Orde-dua

Soal No.1

Solve the following difference equation y_{t+2}-y_{t+1}+\frac{1}{4}y_t=2 with initial condition y_0=4 and y_1=7!

Jawab

Solusi homogen (y_h) dari persamaan beda y_{t+2}-y_{t+1}+\frac{1}{4}y_t=2 diperoleh dengan menyelesaikan persamaan kuadrat m^2-m+\frac{1}{4}=0. Karena persamaan kuadrat tersebut memiliki akar kembar m_{1,2}=\frac{1}{2} maka y_h=C_1\left(\frac{1}{2}\right)^t+C_2t\left(\frac{1}{2}\right)^t.

Solusi partikular (y_p) dari persamaan beda pada soal dapat ditentukan dengan cara sebagai berikut. Karena ruas kanan persamaan beda adalah suatu kontansta (yaitu 2),misalkan y_p=k untuk suatu konstanta riil k. Kita peroleh y_{p+1}=y_{p+2}=k. Selanjutnya, kita substitusi pemisalan ini ke persamaan beda pada soal. Perhatikan bahwa

\begin{array}{rll} y_{t+2}-y_{t+1}+\frac{1}{4}y_t & = & 2\\ y_{p+2}-y_{p+1}+\frac{1}{4}y_p & = & 2\\ k-k+\frac{1}{4}k & = & 2\\ \frac{1}{4}k & = & 2 \\ k & = & 8\end{array}

Sehingga diperoleh bahwa y_p=8.

Solusi umum dari persamaan beda pada soal adalah

\begin{array}{rll} y_t & = & y_h+y_p \\ & = & \left(C_1\left(\frac{1}{2}\right)^t+C_2t\left(\frac{1}{2}\right)^t\right)+8\end{array}

untuk t=0,1,2,\ldots.

Sekarang, kita substitusikan kondisi awal y_0=4 dan y_1=7 untuk menentukan C_1 dan C_2. Perhatikan bahwa

  1. Untuk t=0, diperoleh

    \begin{array}{rll} y_0 & = & 4\\ \left(C_1\left(\frac{1}{2}\right)^0+C_2(0)\left(\frac{1}{2}\right)^0\right)+8 & = & 4\\ C_1+8 & = & 4\\ C_1 & =& -4.\end{array}

  2. Untuk t=1, diperoleh

    \begin{array}{rll} y_1 & = & 7\\ \left(C_1\left(\frac{1}{2}\right)^1+C_2(1)\left(\frac{1}{2}\right)^1\right)+8 & = & 7\\ \frac{1}{2}C_1+\frac{1}{2}C_2 & = & -1\\ \frac{1}{2}(-4)+\frac{1}{2}C_2 & = & -1\\ -2+\frac{1}{2}C_2 & = & -1\\ \frac{1}{2}C_2 & = & 1 \\ C_2 & = & 2.\end{array}

Sehingga, kita peroleh solusi khusus dari persamaan beda y_{t+2}-y_{t+1}+\frac{1}{4}y_t=2 adalah y_t=-4\left(\frac{1}{2}\right)^t+2t\left(\frac{1}{2}\right)^t+8 untuk t=0,1,2,\ldots.

Soal No.2

Suppose that only two firms (Firm 1 (x) and Firm 2 (y)) supply the market and each makes a Cournot assumption about other’s output level. Let the (inverse)-demand function be

p(x+y)=100-0.5(x+y).

Now, suppose the firm cost function be given by

C(x)=50x and C(y)=24y.

  1. Find the second-order difference equation for x.
  2. Use theorem 20.6 to determine whether or not the price converges to its steady-state level.
  3. Solve the difference equation.

Jawab

  1. Profit untuk Firm 1 (x) yaitu

    \begin{array}{rl} \pi(x_{t+1})= & p(x_{t+1}+y_t)x_{t+1}-C(x_{t+1})\\ = & \left(100-0.5(x_{t+1}+y_{t})\right)x_{t+1}-50x_{t+1}\\ = & \left(100-0.5x_{t+1}-0.5y_{t}\right)x_{t+1}-50x_{t+1}\\ = & 100x_{t+1}-0.5x_{t+1}^2-0.5y_{t}x_{t+1}-50x_{t+1}\\ = & 50x_{t+1}-0.5x_{t+1}^2-0.5y_{t}x_{t+1}. \end{array}

    Profit untuk Firm 2 (y) yaitu

    \begin{array}{rl} \pi(y_{t+1})= & p(x_{t}+y_{t+1})y_{t+1}-C(y_{t+1})\\ = & \left(100-0.5(x_{t}+y_{t+1})\right)y_{t+1}-24y_{t+1}\\ = & \left(100-0.5x_{t}-0.5y_{t+1}\right)y_{t+1}-24y_{t+1}\\ = & 100y_{t+1}-0.5x_{t}y_{t+1}-0.5y_{t+1}^2-24y_{t+1}\\ = & 76y_{t+1}-0.5x_{t}y_{t+1}-0.5y_{t+1}^2. \end{array}

    Untuk menentukan persamaan beda orde-dua untuk kasus di atas, kita hitung \frac{d\left(\pi(x_{t+1})\right)}{d\left(x_{t+1}\right)}=0 dan \frac{d\left(\pi(y_{t+1})\right)}{d\left(y_{t+1}\right)}=0. Perhatikan bahwa

    \begin{array}{rl} \frac{d\left(\pi(x_{t+1})\right)}{d\left(x_{t+1}\right)}= & 0\\ \frac{d}{d\left(x_{t+1}\right)}\left(50x_{t+1}-0.5x_{t+1}^2-0.5y_{t}x_{t+1}\right)= & 0 \\ 50-(0.5)(2)x_{t+1}-0.5y_{t}= & 0 \\ 50-x_{t+1}-0.5y_{t}= & 0 \end{array}

    sehingga untuk t=t+1 diperoleh persamaan 50-x_{t+2}-0.5y_{t+1}=0 dan

    \begin{array}{rl} \frac{d\left(\pi(y_{t+1})\right)}{d\left(y_{t+1}\right)}= & 0\\ \frac{d}{d\left(y_{t+1}\right)}\left(76y_{t+1}-0.5x_{t}y_{t+1}-0.5y_{t+1}^2\right)= & 0 \\ 76-0.5x_{t}-(0.5)(2)y_{t+1}= & 0 \\ 76-0.5x_{t}-y_{t+1}= & 0. \end{array}

    Selanjutnya, kita substitusikan persamaan 50-x_{t+2}-0.5y_{t+1}=0 ke persamaan 76-0.5x_{t}-y_{t+1}=0 sehingga diperoleh persamaan beda orde-dua untuk x sebagai berikut x_{t+2}-\frac{1}{4}x_t=12.

  2. Bentuk umum persamaan beda orde-dua untuk x yaitu x_{t+2}+a_1x_{t+1}+a_2x_t=b. Sehingga untuk x_{t+2}-\frac{1}{4}x_t=12 diperoleh a_1=0, a_2=\frac{1}{4} dan b=12. Karena 1+a_1+a_2=1+0-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}>0, 1-a_1+a_2=1-0-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}>0 dan a_2=-\frac{1}{4}<1, maka persamaan beda orde-dua untuk x sebagai berikut x_{t+2}-\frac{1}{4}x_t=12 konvergen. Persamaan tersebut konvergen ke nilai \frac{b}{1+a_1+a_2}=\frac{12}{\frac{3}{4}}=16.
  3. Solusi homogen untuk x_{t+2}-\frac{1}{4}x_t=12 dapat diperoleh dengan menyelesaikan persamaan kuadrat m^2-\frac{1}{4}=0. Karena akar persamaan kuadrat tersebut \frac{1}{2} dan -\frac{1}{2} maka solusi homogennya yaitu x_h=C_1\left(-\frac{1}{2}\right)^t+C_2\left(\frac{1}{2}\right)^t.
    Solusi partikular persamaan beda di atas dapat diperoleh dengan memisalkan solusi partikularnya x_p=k untuk suatu konstanta riil k. Sehingga diperoleh x_{p+1}=x_{p+2}=k. Jika kita substitusikan pemisalan solusi ini pada persamaan beda di atas maka diperoleh

    \begin{array}{rl} x_{t+2}-\frac{1}{4}x_t= & 12\\ x_{p+2}-\frac{1}{4}x_p= & 12\\ k-\frac{1}{4}k = & 12\\ \frac{3}{4}k= & 12 \\ k= & 16. \end{array}

    Jadi, solusi partikularnya x_p=16.
    Sehingga diperoleh, solusi dari persamaan beda x_{t+2}-\frac{1}{4}x_t=12 yaitu x_t=\left(C_1\left(-\frac{1}{2}\right)^t+C_2\left(\frac{1}{2}\right)^t\right)+16 untuk t=0,1,2,\ldots.

4 thoughts on “Laporan Kerja Minggu 4

  1. Problems in English namun jawabannya di Bahasa? BTW, yg benar itu “Difference Equation” (bukan “Differential Equation”) ya?

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s