Ujian 2 #MatVek


Soal

    1. Apakah S=\{(-4,3,5),(3,-2,1),(1,0,13)\} merupakan himpunan yang bebas linier di R^3? Jelaskan!
    2. Apakah T=\{1+2x,3x+4x^2,5x^2+6\} membangun P_2? Jelaskan!
  1. Diketahui bahwa M_{22}, yakni himpunan semua matriks berukuran 2\times 2 merupakan suatu ruang vektor. Periksa dan beri penjelasan yang mana diantara himpunan bagian berikut yang merupakan subruang dari M_{22} (dan mana yang bukan):
    1. V=\left\{\left(\begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array}\right) | a-b+c-d=0\right\},
    2. W=\left\{\left(\begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array}\right) | ad-bc \neq =0\right\}.
  2. Suatu jajargenjang di bidang memiliki titik-titik sudut: A(1,2), B(6,12), C(1,17), D(-4,7). Tanpa menggunakan determinan, tentukan luas jajaran genjang tersebut. Petunjuk: luas jajaran genjang adalah panjang alas kali tinggi.

Jawab

    1. Masih ingat syarat himpunan bebas linier kan? Ya, kombinasi linier dari

      \alpha_1 (-4,3,5)+\alpha_2(3,-2,1)+\alpha_3(1,0,13)=(0,0,0)

      dipenuhi hanya oleh \alpha_1=\alpha_2=\alpha_3=0. Kombinasi linier di atas dapat dipandang dalam bentuk perkalian matriks sebagai berikut

      \left(\begin{array}{ccc}-4 & 3 & 1 \\ 3 & -2 & 0 \\ 5 & 1 & 3\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}\alpha_1 \\ \alpha_2 \\ \alpha_3 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right).

      Karena matriks \left(\begin{array}{ccc}-4 & 3 & 1 \\ 3 & -2 & 0 \\ 5 & 1 & 3\end{array}\right) tidak dapat di-OBE menjadi matriks identitas (tunjukkan), maka terdapat \alpha_i \neq 0 untuk i=1,2,3 yang memenuhi kombinasi linier di atas. Jadi, himpunan S tidak bebas linier di R^3.

    2. Untuk membuktikan apakah himpunan T membangun P_2, kita perlu menunjukkan bahwa sebarang unsur di P_2 dapat ditulis sebagai kombinasi linier dari unsur-unsur di himpunan T. Ambil sebarang y=a+bx+cx^2\in P_2. Perhatikan bahwa kombinasi linier

      \alpha(1+2x)+\beta(3x+4x^2)+\gamma(5x^2+6)=a+bx+cx^2

      membentuk perkalian matriks

      \left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 6 \\ 2 & 3 & 0 \\ 0 & 4 & 5\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}\alpha \\ \beta \\ \gamma \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} a \\ b \\ c \end{array}\right).

      Karena matriks \left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 6 \\ 2 & 3 & 0 \\ 0 & 4 & 5\end{array}\right) dapat di-OBE menjadi matriks identitas (tunjukkan), maka (ada penjelasannya ya saat kuliah) himpunan T membangun P_2.

  1. Masih ingat kan bahwa terdapat 4 syarat suatu subhimpunan takkosong dari ruang vektor membentuk subruang. Pada soal-soal berikut, kalian terawang dahulu apakah ada syarat yang gagal. Kalau tidak ada, tunjukkan semua syarat terpenuhi secara umum. Kalau ada, tinggal kalian beri contoh penyangkal saja. Oke kita mulai🙂
    1. Jelas bahwa V adalah subhimpunan dari M_{22}. Karena \left(\begin{array}{cc} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{array}\right)\in V, maka V\neq \{\}. Ambil sebarang A=\left(\begin{array}{cc} a_1 & a_2 \\ a_3 & a_4 \end{array}\right), B=\left(\begin{array}{cc} b_1 & b_2 \\ b_3 & b_4 \end{array}\right)\in V dan \alpha \in R. Perhatikan bahwa
      • Pada A+B=\left(\begin{array}{cc} a_1+b_1 & a_2+b_2 \\ a_3+b_3 & a_4+b_4 \end{array}\right) diperoleh\begin{array}{rl}(a_1+b_1)-(a_2+b_2)+(a_3+b_3)-(a_4+b_4) & = (a_1-a_2+a_3-a_4)+(b_1-b_2+b_3-b_4)\\  & = 0 + 0 \\  & = 0. \end{array}Jadi A+B\in V.
      • Pada \alpha A=\left(\begin{array}{cc} \alpha a_1 & \alpha a_2 \\ \alpha a_3 & \alpha a_4 \end{array}\right) diperoleh\begin{array}{rl} \alpha a_1- \alpha a_2 + \alpha a_3 - \alpha a_4 & = \alpha (a_1-a_2+a_3-a_4) \\  & = \alpha (0) \\  & = 0. \end{array}Jadi \alpha A\in V.

      Jadi, telah dibuktikan bahwa V subruang dari M_{22}.

    2. Pilih A=\left(\begin{array}{cc} 1 & 3 \\ 0 & 1 \end{array}\right) dan B=\left(\begin{array}{cc} 2 & 0 \\ 3 & 2 \end{array}\right). Jelas bahwa A,B\in W. Karena A+B=\left(\begin{array}{cc} 3 & 3 \\ 3 & 3 \end{array}\right) bukan unsur di W, maka W bukan subruang dari M_{22}.
  2. Perhatikan ilustrasi gambar berikut
    Sumbu Koordinat
    Pilih XD sebagai tinggi dan AB sebagai panjang dari jajaran genjang (kalian bisa memilih tinggi dan alas yang berbeda). Dapat diketahui dengan mudah bahwa vektor AB=(5,10), AD=(-5,5), dan XD=AD-proj_{AB}AD. Sehingga luas jajaran genjang ABCD=\|XD\| \times \|AB\|.

3 thoughts on “Ujian 2 #MatVek

      • Kalau saran saya, kalau sudah sangat produktif ( >5 post sepekan) memang baik dibuat blog-blog sesuai tema postingan. Tapi kalu masih jarang-jarang sebaiknya jgn dulu. Daripada punya banyak blog yg keaktifannya memprihatinkan lebih baik punya satu blog yg sehat kan? Wallahu’alam

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s