Ujian 1 #MatVek


Ujian mata kuliah #MatVek dibagi menjadi 4 (empat) kali tanpa UTS dan UAS. Sangat menyenangkan karena materi yang diujiankan lebih sedikit. Tentu saja mahasiswa tidak bisa bolos seenaknya, sayang dong kalau terlewat walau hanya satu kali ujian.

image

Berikut soal dan langkah penyelesaian dari Ujian 1 # MatVek yang dilaksanakan tadi pagi.

Soal

  1. Misalkan

    u = \left(\begin{array}{c}2\\3\\-2\\4\end{array}\right), v = \left(\begin{array}{c}1 \\ 0 \\ -1 \\ 0 \end{array}\right), w = \left(\begin{array}{c}-2\\1\\3\\5\end{array}\right), x = \left(\begin{array}{c} 2 \\ 0 \\ 1 \\ 3 \end{array}\right)

    Apakah x merupakan kombinasi linier dari u, v dan w? Yakni, apakah terdapat bilangan real \alpha, \beta dan \gamma sehingga

    \alpha u+ \beta v+ \gamma w= x ?

  2. Tentukan matriks X yang memenuhi persamaan

    \left(\begin{array}{cc}3&4\\2&3\end{array}\right) X \left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 2 \\ 0 & -4 & 5 \\ 3 & 5 & 0 \end{array}\right)= \left(\begin{array}{ccc}  0 & -1 & 1 \\ 1 & 0 & 2 \end{array}\right)

  3. Misalkan diketahui bahwa A merupakan matriks berukuran 3\times 3 yang memenuhi

    A\left(\begin{array}{c}1\\2\\3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} 4 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right), A\left(\begin{array}{c}2\\3\\4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} 0 \\ 5 \\ 0 \end{array}\right), dan A\left(\begin{array}{c}3\\4\\5\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 6 \end{array}\right).

    Tentukan A^{-1}.

Langkah Penyelesaian

  1. Pertama, kita ubah soal menjadi permasalahan mencari solusi Sistem Persamaan Linier (SPL)

    \begin{array}{rl}\alpha u+ \beta v+ \gamma w & = x\\ \alpha \left(\begin{array}{c}2\\3\\-2\\4\end{array}\right)+ \beta \left(\begin{array}{c}1 \\ 0 \\ -1 \\ 0 \end{array}\right)+ \gamma \left(\begin{array}{c}-2\\1\\3\\5\end{array}\right) & = \left(\begin{array}{c} 2 \\ 0 \\ 1 \\ 3 \end{array}\right) \\ \left(\begin{array}{ccc} 2 & 1 & -2 \\ 3 & 0 & 1 \\ -2 & -1 & 3 \\ 4 & 0 & 5 \end{array}\right) \left(\begin{array}{c}\alpha \\ \beta \\ \gamma \end{array}\right)&=\left(\begin{array}{c} 2 \\ 0 \\ 1 \\ 3 \end{array}\right)\end{array}.

    Misalkan A=\left(\begin{array}{ccc} 2 & 1 & -2 \\ 3 & 0 & 1 \\ -2 & -1 & 3 \\ 4 & 0 & 5 \end{array}\right) dan b=\left(\begin{array}{c} 2 \\ 0 \\ 1 \\ 3 \end{array}\right). Untuk mencari solusi SPL di atas, kita dapat melakukan OBE pada matriks diperluas A|b sedemikian sehingga matriks A menjadi matriks eselon baris. Perhatikan bahwa terdapat baris nol pada baris terakhir matriks A yang telah di OBE tetapi entri terakhir pada vektor kolom b taknol. Dengan demikian, dapat disimpulkan bahwa SPL tidak konsisten dan tidak terdapat bilangan real \alpha, \beta dan \gamma sehingga \alpha u+ \beta v+ \gamma w= x. Jadi, x bukan kombinasi linier dari u, v dan w.

  2. Misalkan

    A=\left(\begin{array}{cc}3&4\\2&3\end{array}\right), B=\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 2 \\ 0 & -4 & 5 \\ 3 & 5 & 0 \end{array}\right), dan C=\left(\begin{array}{ccc}  0 & -1 & 1 \\ 1 & 0 & 2 \end{array}\right).

    Untuk menentukan matriks X, perhatikan persamaan berikut

    \begin{array}{rl} AXB & =C\\ A^{-1}AXBB^{-1}&= A^{-1}CB^{-1}\\ X & = A^{-1}CB^{-1}\end{array}.

    Langkah selanjutnya mudah kan?😀

  3. Misalkan

    A^{-1}=\left(\begin{array}{ccc} a & b & c\\ d & e & f \\ g & h & i \end{array}\right).

    Perhatikan bahwa

    \begin{array}{rl} A\left(\begin{array}{c}1\\2\\3\end{array}\right) & =\left(\begin{array}{c} 4 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right)\\ A^{-1}A\left(\begin{array}{c}1\\2\\3\end{array}\right) & =A^{-1}\left(\begin{array}{c} 4 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right)\\ \left(\begin{array}{c}1\\2\\3\end{array}\right) & =\left(\begin{array}{ccc} a & b & c\\ d & e & f \\ g & h & i \end{array}\right)\left(\begin{array}{c} 4 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right)\end{array}

    sehingga diperoleh a=\frac{1}{4}, d=\frac{1}{2}, g=\frac{3}{4}. Lakukan hal yang sama pada persamaan lain sehingga diperoleh seluruh elemen dari matriks A^{-1}.

Semoga terbantu🙂🙂

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s