Aturan Trapezoid dalam Kehidupan Nyata

Saya membahas soal-soal terkait Trapezoidal dan Simpson’s Rule di tutorial Matematika Bisnis pekan lalu. Alat untuk menyelesaikan masalah apa ya kedua aturan tadi? Hehehe..

Misalkan kita diberi suatu fungsi f(x) dan diminta untuk mengintegralkannya pada selang [a,b]. Jika integral dari fungsi tersebut mudah untuk ditentukan, maka kita hanya perlu menggunakan Teorema Dasar Kalkulus untuk Integral dalam penyelesaiannya. Pada kasus lainnya, kita dapat mengaproksimasi nilai integral fungsi tersebut pada selang [a,b] menggunakan (salah satunya) aturan Trapezoid.

Teknisnya seperti apa?

Perhatikan bahwa menghitung integral fungsi f(x) pada selang [a,b] sama dengan menghitung area di bawah kurva f(x) pada selang tersebut. Dengan menggunakan Aturan Trapezoid, kita mengaproksimasi luas area di bawah kurva dengan suatu trapesium bertitik sudut a, b, f(b) dan f(a). Semakin lebar selang, maka perhitungan luas dengan aturan Trapezoid dibandingkan dengan luas sebenarnya akan berbeda jauh. Karenanya, kita perlu mempartisi selang tersebut sebanyak-banyaknya supaya hasil perhitungan lebih akurat.

Rumus-rumus terkait aturan Trapezoid yaitu:

Misalkan kita ingin menghitung integral tentu di atas menggunakan n buah partisi, maka
\int_a^b f(x) dx = \frac{d}{2}\left(f(x_1)+2f(x_2)+2f(x_3)+\ldots+2f(x_n)+f(x_{n+1})\right)
dengan d=\frac{b-a}{n}, x_1=a, x_{n+1}=b, x_{i+1}=x_i+d untuk i=2,3,4,\ldots,n.

Error untuk aturan ini diperoleh dengan menghitung
|E_n|\leq\frac{M(b-a)^3}{12n^2} dengan M adalah nilai terbesar untuk |f"(x)| pada selang [a,b].

Aplikasi dari aturan ini? Yang paling jelas tentunya untuk menghitung luas dari suatu area. Mau tahu yang lebih hebat dari itu??

Untuk catatan pribadi, teknik partisi ini sering dilakukan dalam mencari solusi. Ini salah satu cara menyederhanakan masalah yang dihadapi. Teknik ini dapat dipakai dalam kehidupan nyata lho!! Saat menuruni tangga yang curam, daripada fokus pada anak tangga terbawah.. Akan lebih mudah menuruninya dengan fokus pada anak tangga terdekat. Maklum, saya takut ketinggian. Hehehe..

Lebih umumnya, saat ingin mencapai target pribadi. Betapa lebih nyata langkah untuk mencapainya jika target tersebut di’partisi’ menjadi beberapa target pendek.

Selamat mencoba!!

Rekrutmen Supervisor Beastudi Etos Wilayah Bandung

Beastudi Etos merupakan salah satu program beasiswa yang ada di Beastudi Indonesia (jejaring divisi pendidikan Dompet Dhuafa). Dengan visi ‘Terdepan dalam Membentuk SDM Unggul dan Mandiri’, Beastudi Etos ingin menghadirkan pejuang-pejuang baru yang gigih memperjuangkan masa depan bangsa ini dengan keunggulan dan kemandirian yang mereka miliki. Untuk mencapainya, program ini tidak hanya memberikan bantuan biaya pendidikan dan uang saku kepada para penerima manfaat. Beastudi Etos juga memperkuatnya dengan aktivitas pembinaan pengembangan diri dan kehidupan berasrama sebagai implementasi dari program pengembangan SDM. Hingga kini, total penerima manfaat yang pernah dan sedang mendapatkan program Beastudi Etos sudah mencapai sekitar 409 orang dengan 477 alumni. Saat ini Beastudi Indonesia telah memiliki persebaran program Beastudi Etos di 15 Perguruan Tinggi Negeri terkemuka di 12 wilayah yang diantaranya Institut Teknologi Bandung dan Universitas Padjadjaran.

Beastudi Etos wilayah Bandung akan membuka asrama untuk ikhwan di daerah Jatinangor. Dengan ini, kami membuka ladang amal sebagai Supervisor Asrama Ikhwan Jatinangor.

Persayaratan Umum:
Laki-laki muslim taat yang tidak merokok dan belum menikah.

Persyaratan Khusus:

  1. Usia maksimal 26 (dua puluh enam) tahun.
  2. Minimal semester 7 (tujuh) (dari Universitas Padjadjaran atau Institut Teknologi Bandung) dengan IPK minimal 3 (tiga).
  3. Aktif di organisasi dan pernah terlibat dalam aktifitas mengelola SDM minimal 1 (satu) tahun.
  4. Siap bergabung dalam manajemen Beastudi Etos wilayah Bandung minimal selama 3 (tiga) semester dan maksimal 3 (tiga) tahun.

Fasilitas:

  1. Asrama,
  2. Uang saku per bulan,
  3. Support prestasi dalam dan luar negeri, serta
  4. Peluang melanjutkan S2 dan S3 di luar negeri.

Berkas lamaran:

  1. Satu lembar fotokopi KTP,
  2. Satu lembar fotokopi ijazah dilegalisir (jika sudah lulus S1),
  3. Satu lembar transkrip akademik terbaru dan dilegalisir,
  4. Satu lembar foto berwarna ukuran 3×4 cm,
  5. Satu berkas Riwayat Hidup dan
  6. Satu berkas esai dengan topik ‘Negarawan Muda’.

Jadwal seleksi Supervisor:

  1. Administrasi: 17 Februari – 7 Maret 2014.
  2. Wawancara wilayah: 8-9 Maret 2014.
  3. Wawancara terpusat: 11-12 Maret 2014.
  4. Pengumuman hasil seleksi: 14 Maret 2014.

Seluruh hasil scan berkas lamaran dalam format pdf dikirim ke alamat e-mail gantina.r@gmail.com paling lambat tanggal 7 Maret 2014 dan hardcopy-nya dibawa pada saat wawancara.

Kami tunggu aplikasi Anda!

Penghujung Doa

Aku mendekapmu dengan erat
Selembut laut mengusap bibir pantai setelah fajar
Sehangat senja di musim semi
Sekuat janji yang terucap di penghujung hari

Aku mendekapmu dalam doa
Dalam sunyinya kata
Dalam derasnya rasa
Dalam kaburnya jawab

Doaku..
Penghujungnya membebaskanmu
Akan terebah, akan terlabuh atau akan tersandar pada siapa keteguhan itu
Dalam perjalanan doa
Sejauh Dandelion yang terbang di akhir April

Dalam perjalanan,
Gantina R.

Laporan Kerja Minggu 4

Persamaan Beda Orde-dua

Soal No.1

Solve the following difference equation y_{t+2}-y_{t+1}+\frac{1}{4}y_t=2 with initial condition y_0=4 and y_1=7!

Jawab

Solusi homogen (y_h) dari persamaan beda y_{t+2}-y_{t+1}+\frac{1}{4}y_t=2 diperoleh dengan menyelesaikan persamaan kuadrat m^2-m+\frac{1}{4}=0. Karena persamaan kuadrat tersebut memiliki akar kembar m_{1,2}=\frac{1}{2} maka y_h=C_1\left(\frac{1}{2}\right)^t+C_2t\left(\frac{1}{2}\right)^t.

Solusi partikular (y_p) dari persamaan beda pada soal dapat ditentukan dengan cara sebagai berikut. Karena ruas kanan persamaan beda adalah suatu kontansta (yaitu 2),misalkan y_p=k untuk suatu konstanta riil k. Kita peroleh y_{p+1}=y_{p+2}=k. Selanjutnya, kita substitusi pemisalan ini ke persamaan beda pada soal. Perhatikan bahwa

\begin{array}{rll} y_{t+2}-y_{t+1}+\frac{1}{4}y_t & = & 2\\ y_{p+2}-y_{p+1}+\frac{1}{4}y_p & = & 2\\ k-k+\frac{1}{4}k & = & 2\\ \frac{1}{4}k & = & 2 \\ k & = & 8\end{array}

Sehingga diperoleh bahwa y_p=8.

Solusi umum dari persamaan beda pada soal adalah

\begin{array}{rll} y_t & = & y_h+y_p \\ & = & \left(C_1\left(\frac{1}{2}\right)^t+C_2t\left(\frac{1}{2}\right)^t\right)+8\end{array}

untuk t=0,1,2,\ldots.

Sekarang, kita substitusikan kondisi awal y_0=4 dan y_1=7 untuk menentukan C_1 dan C_2. Perhatikan bahwa

  1. Untuk t=0, diperoleh

    \begin{array}{rll} y_0 & = & 4\\ \left(C_1\left(\frac{1}{2}\right)^0+C_2(0)\left(\frac{1}{2}\right)^0\right)+8 & = & 4\\ C_1+8 & = & 4\\ C_1 & =& -4.\end{array}

  2. Untuk t=1, diperoleh

    \begin{array}{rll} y_1 & = & 7\\ \left(C_1\left(\frac{1}{2}\right)^1+C_2(1)\left(\frac{1}{2}\right)^1\right)+8 & = & 7\\ \frac{1}{2}C_1+\frac{1}{2}C_2 & = & -1\\ \frac{1}{2}(-4)+\frac{1}{2}C_2 & = & -1\\ -2+\frac{1}{2}C_2 & = & -1\\ \frac{1}{2}C_2 & = & 1 \\ C_2 & = & 2.\end{array}

Sehingga, kita peroleh solusi khusus dari persamaan beda y_{t+2}-y_{t+1}+\frac{1}{4}y_t=2 adalah y_t=-4\left(\frac{1}{2}\right)^t+2t\left(\frac{1}{2}\right)^t+8 untuk t=0,1,2,\ldots.

Soal No.2

Suppose that only two firms (Firm 1 (x) and Firm 2 (y)) supply the market and each makes a Cournot assumption about other’s output level. Let the (inverse)-demand function be

p(x+y)=100-0.5(x+y).

Now, suppose the firm cost function be given by

C(x)=50x and C(y)=24y.

  1. Find the second-order difference equation for x.
  2. Use theorem 20.6 to determine whether or not the price converges to its steady-state level.
  3. Solve the difference equation.

Jawab

  1. Profit untuk Firm 1 (x) yaitu

    \begin{array}{rl} \pi(x_{t+1})= & p(x_{t+1}+y_t)x_{t+1}-C(x_{t+1})\\ = & \left(100-0.5(x_{t+1}+y_{t})\right)x_{t+1}-50x_{t+1}\\ = & \left(100-0.5x_{t+1}-0.5y_{t}\right)x_{t+1}-50x_{t+1}\\ = & 100x_{t+1}-0.5x_{t+1}^2-0.5y_{t}x_{t+1}-50x_{t+1}\\ = & 50x_{t+1}-0.5x_{t+1}^2-0.5y_{t}x_{t+1}. \end{array}

    Profit untuk Firm 2 (y) yaitu

    \begin{array}{rl} \pi(y_{t+1})= & p(x_{t}+y_{t+1})y_{t+1}-C(y_{t+1})\\ = & \left(100-0.5(x_{t}+y_{t+1})\right)y_{t+1}-24y_{t+1}\\ = & \left(100-0.5x_{t}-0.5y_{t+1}\right)y_{t+1}-24y_{t+1}\\ = & 100y_{t+1}-0.5x_{t}y_{t+1}-0.5y_{t+1}^2-24y_{t+1}\\ = & 76y_{t+1}-0.5x_{t}y_{t+1}-0.5y_{t+1}^2. \end{array}

    Untuk menentukan persamaan beda orde-dua untuk kasus di atas, kita hitung \frac{d\left(\pi(x_{t+1})\right)}{d\left(x_{t+1}\right)}=0 dan \frac{d\left(\pi(y_{t+1})\right)}{d\left(y_{t+1}\right)}=0. Perhatikan bahwa

    \begin{array}{rl} \frac{d\left(\pi(x_{t+1})\right)}{d\left(x_{t+1}\right)}= & 0\\ \frac{d}{d\left(x_{t+1}\right)}\left(50x_{t+1}-0.5x_{t+1}^2-0.5y_{t}x_{t+1}\right)= & 0 \\ 50-(0.5)(2)x_{t+1}-0.5y_{t}= & 0 \\ 50-x_{t+1}-0.5y_{t}= & 0 \end{array}

    sehingga untuk t=t+1 diperoleh persamaan 50-x_{t+2}-0.5y_{t+1}=0 dan

    \begin{array}{rl} \frac{d\left(\pi(y_{t+1})\right)}{d\left(y_{t+1}\right)}= & 0\\ \frac{d}{d\left(y_{t+1}\right)}\left(76y_{t+1}-0.5x_{t}y_{t+1}-0.5y_{t+1}^2\right)= & 0 \\ 76-0.5x_{t}-(0.5)(2)y_{t+1}= & 0 \\ 76-0.5x_{t}-y_{t+1}= & 0. \end{array}

    Selanjutnya, kita substitusikan persamaan 50-x_{t+2}-0.5y_{t+1}=0 ke persamaan 76-0.5x_{t}-y_{t+1}=0 sehingga diperoleh persamaan beda orde-dua untuk x sebagai berikut x_{t+2}-\frac{1}{4}x_t=12.

  2. Bentuk umum persamaan beda orde-dua untuk x yaitu x_{t+2}+a_1x_{t+1}+a_2x_t=b. Sehingga untuk x_{t+2}-\frac{1}{4}x_t=12 diperoleh a_1=0, a_2=\frac{1}{4} dan b=12. Karena 1+a_1+a_2=1+0-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}>0, 1-a_1+a_2=1-0-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}>0 dan a_2=-\frac{1}{4}<1, maka persamaan beda orde-dua untuk x sebagai berikut x_{t+2}-\frac{1}{4}x_t=12 konvergen. Persamaan tersebut konvergen ke nilai \frac{b}{1+a_1+a_2}=\frac{12}{\frac{3}{4}}=16.
  3. Solusi homogen untuk x_{t+2}-\frac{1}{4}x_t=12 dapat diperoleh dengan menyelesaikan persamaan kuadrat m^2-\frac{1}{4}=0. Karena akar persamaan kuadrat tersebut \frac{1}{2} dan -\frac{1}{2} maka solusi homogennya yaitu x_h=C_1\left(-\frac{1}{2}\right)^t+C_2\left(\frac{1}{2}\right)^t.
    Solusi partikular persamaan beda di atas dapat diperoleh dengan memisalkan solusi partikularnya x_p=k untuk suatu konstanta riil k. Sehingga diperoleh x_{p+1}=x_{p+2}=k. Jika kita substitusikan pemisalan solusi ini pada persamaan beda di atas maka diperoleh

    \begin{array}{rl} x_{t+2}-\frac{1}{4}x_t= & 12\\ x_{p+2}-\frac{1}{4}x_p= & 12\\ k-\frac{1}{4}k = & 12\\ \frac{3}{4}k= & 12 \\ k= & 16. \end{array}

    Jadi, solusi partikularnya x_p=16.
    Sehingga diperoleh, solusi dari persamaan beda x_{t+2}-\frac{1}{4}x_t=12 yaitu x_t=\left(C_1\left(-\frac{1}{2}\right)^t+C_2\left(\frac{1}{2}\right)^t\right)+16 untuk t=0,1,2,\ldots.

Langkah Instalasi Modem XL Unlimited (Huawei E303) di Ubuntu 12.04 LTS

Iya, emang. judulnya panjang sekali. Hehehe..

Entah dapat ilham darimana, saya menggunakan Linux dan meninggalkan Windows beberapa hari lalu. Dimulailah perjuangan penuh keseruan. Hese ya ternyata..!! :P

Saya bagikan langkah-langkah instalasi modem Huawei E303 di Ubuntu 12.04 LTS. Saya memilih provider XL karena paket Unlimited 12 GB-nya hanya Rp.49.000,- saja. Murah kan ya? Kayaknya.. Heu..

Alhamdulillaahnya, modem Huawei milik saya sudah Unlock dari sananya. Jadi teu hese-hese teuing nginstall-nya. Sisanya, perhatikan dan ikuti saja langkah-langkah lewat panah dan angka pada foto di bawah. Sebagai tambahan, foto-foto di bawah saya buat menggunakan Shutter (lebih canggih dari Snipping Tool-nya Windows). Enjoyed!!

Langkah 1

Langkah 1

Langkah 2

Langkah 2

Langkah 3

Langkah 3

Langkah 4

Langkah 4

Langkah 5

Langkah 5

Langkah 6

Langkah 6

Langkah 7

Langkah 7

Semoga berhasil!! :)